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例えば集合の圏における二つの射(=写像)の同一性は、koher さんが書いたように始域の任意の要素に対して同じ値を対応させるか、によって定義します。
すみません、細かい質問なのですが、射の同一性の必要条件に「始域が同一であること」は入らないのでしょうか。