圏を定めるときに、射の equality もその定義に含まれていて、その上で結合律などを満たすことが要請される、というのが正しいと思います。例えば集合の圏における二つの射（＝写像）の同一性は、koher さんが書いたように始域の任意の要素に対して同じ値を対応させるか、によって定義します。対象に対しては equatability は要請しないのに射に対しては要請するというところは僕も初学のとき気になったのですが、ちゃんとそのことに言明されてるテキストに出会ったことがありません

(edited)