複数のPresenterで同じInteractorを共有したい場合

これ自体はよくあることなように思います。 VIPER 的にはプロトコルを挟むのが普通なのかもしれませんが。

5:38 AM

自身の知らないところでinteractorが更新されてて困るケース

これは、 FirstPresenter からの入力による変更によって SecondPresenter が何かを View に出力しなければならないのであれば、それが Interactor から SecondPresenter に通知される必要があるのではないでしょうか。

5:42 AM

それは InteractorOutput のメソッドを呼ぶような形かもしれませんし、 name が直接出力に使われるのであれば（たとえば Combine を使うなら） name を Publisher にしておいてそれを購読するとか、もしくは Interactor 自体を ObservableObject にするとか、色々な方法があると思います。